小学奥数体系整体划分为七大核心板块：计算、计数、数论、几何、应用题、行程与组合。整套内容汇总了36 个必学高频知识点，覆盖全面、循序渐进。从常见的和差倍、年龄问题，到难度更高的循环小数等内容，七大模块核心考点全部囊括，完整覆盖小学奥数的重点学习内容。以下是小学奥数知识清单：

第一部分：

1、和差问题

和差问题就是已知两个数的总和，以及这两个数的差，求这两个数分别是多少的问题。

解题关键：先根据总和和差，求出其中一个数，再用总和减去这个数，得到另一个数。

常用公式（记熟直接用）：

① 较大数 = （总和 + 差）÷ 2；

② 较小数 = （总和 - 差）÷ 2。

简单记：和加差，除以2，得大数；和减差，除以2，得小数。

2、年龄问题

年龄问题有三个最关键的特点，记牢就能解题：

① 两个人的年龄差，不管过多少年都不会变。比如今年甲比乙大5岁，10年后甲还是比乙大5岁；

② 两个人的年龄是同步变化的，别人长几岁，自己也长几岁，不会出现一个长、一个不长的情况；

③ 两个人年龄的倍数关系会变。比如小时候甲的年龄是乙的2倍，长大后可能就变成1.5倍，倍数会随着年龄增长慢慢变小。

3、归一问题

归一问题的核心，是题目里有一个固定不变的量，我们一般叫它“单一量”。题目里通常会用“照这样的速度”“按这样的标准”这类话来提示这个不变的量。

解题的关键，就是先找到这个“单一量”，算出它具体是多少，再根据它去求其他未知的量。

4、归总问题

归总问题和归一问题刚好相反，归一问题是先求“单一量”，而归总问题是先求出“总数量”（也就是先把单一量和份数相乘，算出总量），再根据总量求其他未知量。

题目里通常会有“先……再……”的表述，核心是总量始终不变。

解题关键：先算出总数量（单一量×份数），再根据新的条件，求出对应的份数或新的单一量。

举例：比如每天做5道题，8天能做完，若每天做10道题，几天能做完？先算总题数（5×8=40道），再用总题数除以每天做的10道，就能求出天数。

5、鸡兔同笼问题

鸡兔同笼也叫置换问题、假设问题，简单说就是先假设一种情况，再把假设错的部分调整过来。

解题思路很简单，分四步走：

① 先做假设：假设笼子里全是鸡，或者全是兔子（也就是假设两种动物一样多）；

② 算差距：假设完之后，算出这种假设和题目给出的实际条件（比如总脚数）差了多少；

③ 找原因：每把一只鸡当成兔子（或反之），差距都是固定的，找到这个固定的差距；

④ 做调整：根据前面算出来的总差距和单只的差距，调整过来，就能算出鸡和兔子各自的数量。

常用公式（记熟直接用）：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题

盈亏问题的本质，就是把一定数量的东西，按两种不同的标准分组，会得出两种不同的结果，因为分组标准不一样，才会有差距，我们就根据这个差距，求出东西的总数或者分组的组数。

解题思路：先把两种分组方案对比一下，看看因为分组标准不同，结果差了多少，再根据这个差值，算出一共分了多少组，最后再求东西的总数量。

常见题型和对应公式（直接套用）：

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

第二部分：

7、牛吃草问题

牛吃草问题的解题思路很固定，记住这几步就能解：先假设每头牛每天吃草的速度是“1”份，再根据两次不同的吃法（比如不同牛头数吃不同天数），算出两次总草量的差；接着找出造成这个差的原因（其实就是草生长的速度），就能确定草每天的生长量和牧场原有的总草量。

基本特点：牧场原有的草量（原草量）和草每天的生长速度，这两个量是始终不变的。

解题关键：准确找到“原草量”和“草的生长速度”这两个不变的量。

常用公式（记熟直接套用）：

① 草的生长量 = （较长时间×长时间的牛头数 - 较短时间×短时间的牛头数）÷（较长时间 - 较短时间）；

② 总草量 = 较长时间×长时间的牛头数 - 较长时间×草的生长量。

8、周期循环与数表规律

周期现象：就是事物在变化过程中，某些特征会有规律地重复出现。

周期：连续两次出现同一个特征所经过的时间（或次数），就叫做周期。

解题关键：找准循环的周期是多少，才能根据周期规律解题。

补充：平年和闰年的判断（常结合周期考查）：

闰年：一年有366天，判断方法有两个：① 年份能被4整除；② 如果年份能被100整除，那么这个年份必须能被400整除（比如2000年是闰年，1900年不是）。

平年：一年有365天，判断方法相反：① 年份不能被4整除；② 如果年份能被100整除，但不能被400整除。

9、平均数

常用公式（核心必记）：

① 平均数 = 总数量 ÷ 总份数； 总数量 = 平均数 × 总份数； 总份数 = 总数量 ÷ 平均数；

② 平均数 = 基准数 ＋ （每一个数与基准数的差的和）÷ 总份数。

基本算法（两种方法，根据题目选）：

① 常规法：先算出所有数的总数量，再数出总份数，直接用上面的公式①计算即可。

② 基准数法：如果给出的数都比较接近，就选一个中间数或接近所有数的数当基准数；然后算出每个数和基准数的差，把这些差加起来，求出差的平均数；最后用基准数加上这个差的平均数，就是所求的平均数（对应公式②）。

10、抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放进n个抽屉里，那么必定有一个抽屉里至少放了2个物体。

举例：把4个物体放进3个抽屉，有四种放法：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1，不管哪种放法，总有一个抽屉里有2个或更多物体，这就是抽屉原则一。

抽屉原则二：如果把n个物体放进m个抽屉里，而且n大于m，那么必定有一个抽屉里至少有对应的物体数，分两种情况：

① 当n不能被m整除时，这个抽屉至少有 [n/m] + 1 个物体（[X]表示不超过X的最大整数，比如[4.351]=4、[0.321]=0、[2.9999]=2）；

② 当n能被m整除时，这个抽屉至少有 n/m 个物体。

解题关键：找准“物体”和“抽屉”对应的量，再根据上面的抽屉原则计算即可。

11、定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

第三部分：

12、数列求和（等差数列）

等差数列很简单，就是一列数中，任意两个相邻数的差都是固定的，这样的数列就叫等差数列。

基本概念（记熟符号含义，解题更方便）：

① 首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；

② 项数：这列数一共有多少个，一般用n表示；

③ 公差：相邻两个数的差，一般用d表示；

④ 通项：表示数列中任意一个数的公式，一般用an表示（比如求第5个数，就是a5）；

⑤ 数列和：这列数所有数字加起来的总和，一般用Sn表示。

解题思路：等差数列里有5个关键量（a1、an、d、n、Sn），不管是通项公式还是求和公式，都只涉及4个量，只要知道其中3个，就能算出第4个。

常用公式（核心必记，直接套用）：

① 通项公式：an = a1 +（n－1）×d（通俗说：末项 = 首项 +（项数－1）×公差）；

② 数列和公式：Sn = (a1 + an)×n÷2（通俗说：数列和 =（首项 + 末项）×项数÷2）；

③ 项数公式：n = (an － a1)÷d + 1（通俗说：项数 =（末项－首项）÷公差 + 1）；

④ 公差公式：d =（an － a1）÷（n－1）（通俗说：公差 =（末项－首项）÷（项数－1））。

解题关键：先分清题目里已知哪些量、要求哪个量，再选对对应的公式。

13、二进制及其应用

我们平时用的是十进制，奥数里常考二进制，两者的核心区别就是“满几进1”。

① 十进制：用0～9这10个数字表示，满10就进1（比如9之后是10，99之后是100）；不同数位上的数字含义不同，比如234，十位的3表示30，百位的2表示200。

② 二进制：只用0和1两个数字表示，满2就进1（比如1之后是10，11之后是100）；不同数位上的1含义也不同，比如二进制的10，就相当于十进制的2，100相当于十进制的4。

重点：十进制化成二进制（两种方法，任选一种）：

方法一：根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个十进制数，直到商变成0，然后把每次得到的余数，从下往上依次写出来，就是对应的二进制数。

方法二：先找出不大于这个十进制数的2的n次方（比如十进制10，最大的2的n次方是8，即2³），算出10和8的差是2，再找不大于2的2的n次方（即2¹），差是0，再按照二进制展开式，写出对应的数字即可。

14、加法乘法原理和几何计数

这部分主要考“完成一件事有多少种方法”，分加法原理和乘法原理，还有常见的几何计数规律。

① 加法原理：完成一件任务有n类不同方法，第一类有m1种，第二类有m2种……第n类有mn种，那么完成这件事的总方法数，就是把所有类的方法数加起来（m1 + m2 + … + mn）。

关键：确定“分类”，每一类方法都能单独完成这件事。

② 乘法原理：完成一件任务需要分n个步骤，第一步有m1种方法，不管第一步用哪种，第二步都有m2种方法……不管前面步骤用哪种，最后一步都有mn种方法，总方法数就是把所有步骤的方法数乘起来（m1 × m2 × … × mn）。

关键：确定“分步”，每一步只能完成任务的一部分，必须所有步骤都做完，才能完成任务。

补充：常见几何图形计数规律（记熟直接用）：

- 直线：没有端点，没有长度；线段：有两个端点，有长度；射线：只有一个端点，没有长度。

- 数线段：总数 = 1 + 2 + 3 + … +（点数－1）；

- 数角：总数 = 1 + 2 + 3 + … +（射线数－1）；

- 数长方形（普通长方形）：个数 = 长边上的线段数 × 宽边上的线段数；

- 数正方形：个数 = 1×1 + 2×2 + 3×3 + … + 行数×列数（比如3行3列，就是1+4+9=14个）。

15、质数与合数

核心是区分质数、合数，掌握分解质因数和互质数的概念。

① 质数（也叫素数）：一个数除了1和它本身之外，没有其他的约数（比如2、3、5、7）；

② 合数：一个数除了1和它本身之外，还有其他的约数（比如4、6、8、9）；

③ 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么这个质数就是这个数的质因数（比如2是4的质因数）；

④ 分解质因数：把一个合数，用质数相乘的形式表示出来（比如12分解质因数是12=2×2×3），通常用短除法来分解，而且每个合数分解质因数的结果是唯一的。

⑤ 求约数个数的公式：如果一个合数N分解质因数后是N=a1^r1 × a2^r2 × … × an^rn（a1、a2…是质因数，r1、r2…是质因数的个数），那么它的约数个数P=(r1+1)×(r2+1)×…×(rn+1)；

⑥ 互质数：两个数的最大公约数是1，这两个数就是互质数（比如3和4、5和7）。

16、约数与倍数

先明确基础概念，再掌握最大公约数和最小公倍数的求法。

① 约数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数（比如12能被3整除，12是3的倍数，3是12的约数）；

② 公约数与最大公约数：几个数公有的约数，叫这几个数的公约数；其中最大的一个，叫最大公约数（比如12和18的公约数有1、2、3、6，最大公约数是6，记作（12，18）=6）；

最大公约数的性质（了解即可，辅助解题）：

（1）几个数除以它们的最大公约数，得到的商是互质数；

（2）几个数的最大公约数，是这几个数的约数；

（3）几个数的公约数，都是它们最大公约数的约数；

（4）几个数乘同一个自然数m，所得积的最大公约数，等于这几个数的最大公约数乘m。

求最大公约数的3种基本方法：

（1）分解质因数法：先把几个数分解质因数，再把相同的质因数连乘起来；

（2）短除法：先找几个数公有的约数，然后把公有的约数相乘；

（3）辗转相除法：用除数和余数反复相除，能整除的那个余数，就是最大公约数。

③ 公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫最小公倍数（比如12和18的公倍数有36、72，最小公倍数是36，记作[12，18]=36）；

最小公倍数的性质（重点记）：

（1）两个数的任意公倍数，都是它们最小公倍数的倍数；

（2）两个数的最大公约数×最小公倍数 = 这两个数的乘积（非常实用，可快速验算）。

求最小公倍数的2种基本方法：

（1）短除法：和求最大公约数的短除法类似，最后把公有的约数和各自独有的约数相乘；

（2）分解质因数法：先分解质因数，再把所有质因数（相同的取最多的个数）相乘。

第四部分：

17、数的整除

一、基本概念和符号

1.   整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，能得到一个整数商c，而且没有余数，就说a能被b整除（或者b能整除a），记作b|a。

2.   常用符号：整除符号是“|”，不能整除的符号是“∤”；因为符号是“∵”，所以符号是“∴”。

二、整除判断方法（记熟，直接套用）

1.   能被2、5整除：看这个数的末位数字，末位数字能被2、5整除，这个数就可以。

2.   能被4、25整除：看这个数的末两位数字，末两位组成的数能被4、25整除，这个数就可以。

3.   能被8、125整除：看这个数的末三位数字，末三位组成的数能被8、125整除，这个数就可以。

4.   能被3、9整除：把这个数各个数位上的数字加起来，所得的和能被3、9整除，这个数就可以。

5.   能被7整除（两种方法，任选一种）：

① 把这个数分成末三位和末三位以前的两部分，用末三位组成的数减去末三位以前的数，差能被7整除，这个数就可以；

② 逐次去掉这个数的最后一位数字，同时减去末位数字的2倍，最后结果能被7整除，这个数就可以。

6.   能被11整除（三种方法，任选一种）：

① 把这个数分成末三位和末三位以前的两部分，用末三位组成的数减去末三位以前的数，差能被11整除，这个数就可以；

② 把这个数各个奇数位上的数字加起来，再把偶数位上的数字加起来，用两者的差能被11整除，这个数就可以；

③ 逐次去掉这个数的最后一位数字，同时减去末位数字，最后结果能被11整除，这个数就可以。

7.   能被13整除（两种方法，任选一种）：

① 把这个数分成末三位和末三位以前的两部分，用末三位组成的数减去末三位以前的数，差能被13整除，这个数就可以；

② 逐次去掉这个数的最后一位数字，同时减去末位数字的9倍，最后结果能被13整除，这个数就可以。

三、整除的性质（理解记忆，辅助解题）

1.   如果a和b都能被c整除，那么（a+b）和（a-b）也能被c整除。

2.   如果a能被b整除，c是任意整数，那么a乘以c的积也能被b整除。

3.   如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.   如果a能被b和c同时整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18、余数及其应用

基本概念：对于任意自然数a、b、q、r，如果满足a÷b=q……r（其中0<r<b），那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质（核心必记，解题关键）：

① 余数一定小于除数（比如a÷5，余数只能是1、2、3、4，不能是5或更大）；

② 如果a、b除以c的余数相同，那么c能整除（a-b），或者c能整除（b-a）；

③ a与b的和除以c的余数，等于a除以c的余数加上b除以c的余数，再用这个和除以c得到的余数；

④ a与b的积除以c的余数，等于a除以c的余数乘以b除以c的余数，再用这个积除以c得到的余数。

19、余数、同余与周期

一、同余的定义

① 如果两个整数a、b除以m的余数相同，就称a、b对于模m同余；

② 已知三个整数a、b、m，如果m能整除（a-b），就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作“a同余于b模m”。

二、同余的性质

① 自身性：a≡a(mod m)（任何数和它本身同余）；

② 对称性：如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；

③ 传递性：如果a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)；

④ 和差性：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤ 相乘性：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a×c≡b×d(mod m)；

⑥ 乘方性：如果a≡b(mod m)，那么aⁿ≡bⁿ(mod m)（n是自然数）；

⑦ 同倍性：如果a≡b(mod m)，c是整数，那么a×c≡b×c(mod m×c)。

三、关于乘方的预备知识（辅助理解同余乘方性）

① 如果A=a×b，那么Mᴬ=Mᵃˣᵇ=(Mᵃ)ᵇ；

② 如果B=c+d，那么Mᴮ=Mᶜ⁺ᵈ=Mᶜ×Mᵈ。

四、被3、9、11除后的余数特征（直接套用）

① 一个自然数M，n表示M各个数位上数字的和，那么M≡n(mod 9)或M≡n(mod 3)；

② 一个自然数M，X表示M各个奇数位上数字的和，Y表示M各个偶数位上数字的和，那么M≡Y-X(mod 11)或M≡11-(X-Y)(mod 11)。

五、费尔马小定理

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，那么a^(p-1)≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用

基本概念与性质

① 分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数；

② 分数的性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；

③ 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数；

④ 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数（又叫百分率、百分比）。

常用解题方法（记熟方法，灵活运用）

① 逆向思维法：从题目条件的反方向（或最终结果）倒着思考，解决问题；

② 对应思维法：找出题目中具体的量，和它所占的分率（或百分率），找到直接对应关系，再解题；

③ 转化思维法：把一种类型的应用题，转化成另一种容易解答的类型（比如转化成比例、倍数关系）；重点是把不同标准下的分率，转化成同一标准下的分率（通常确定一个量为“一倍量”）；

④ 假设思维法：为了方便解题，把题目中不相等的量假设成相等，或假设某种情况成立，算出结果后再调整，得出最终答案；

⑤ 量不变思维法：题目中总有一个量是固定不变的，不管其他量怎么变，它始终不变，分三种情况：

A、分量变化，总量不变；B、总量变化，部分分量不变；C、总量和分量都变，但分量之间的差不变；

⑥ 替换思维法：用一种量代替另一种量，让数量关系更简单、量率关系更明确；

⑦ 同倍率法：总量和分量按照相同的分率变化时，用这个规律来解题；

⑧ 浓度配比法：主要用于总量和分量都发生变化的题目（比如浓度问题）。

21、分数大小的比较

基本方法（10种，根据题目选择最简便的）：

① 通分分子法：把所有分数的分子化成相同，分子相同的分数，分母越大，分数值越小；

② 通分分母法：把所有分数的分母化成相同，分母相同的分数，分子越大，分数值越大；

③ 基准数法：确定一个固定的基准数（比如1、1/2），把所有分数和基准数比较，再判断分数之间的大小；

④ 分子分母差一定法：当分数的分子和分母的差是固定值时，分子（或分母）越大，分数值越大；

⑤ 倍率比较法：当两个分数的分子、分母同时变化时，除了通分，还可以用同倍率变化规律比较大小；

⑥ 转化比较法：把所有分数都化成小数，再比较小数的大小；

⑦ 倍数比较法：用一个分数除以另一个分数，得数大于1，说明被除数大；得数小于1，说明除数大；

⑧ 差值比较法：用一个分数减去另一个分数，差大于0，说明前者大；差小于0，说明后者大；

⑨ 倒数比较法：先比较两个分数的倒数，倒数大的分数，原分数反而小；

⑩ 基准数比较法：和③类似，确定一个基准数，逐一比较每个分数与基准数的大小，再排序。

23、完全平方数

完全平方数特征（记熟特征，快速判断）

（1）末位数字只能是0、1、4、5、6、9（反过来，末位是这些数字的数，不一定是完全平方数）；

（2）除以3的余数，要么是0，要么是1（反过来，除以3余0或1的数，不一定是完全平方数）；

（3）除以4的余数，要么是0，要么是1（反过来，除以4余0或1的数，不一定是完全平方数）；

（4）约数的个数是奇数（反过来，约数个数是奇数的数，一定是完全平方数）；

（5）奇数的平方，十位数字一定是偶数（反过来，十位是偶数的奇数，不一定是完全平方数）；

（6）奇数的平方，个位数字是奇数；偶数的平方，个位数字是偶数；

（7）两个相邻整数的平方之间，再也没有其他的完全平方数。

常用公式（必记，解题常用）

① 平方差公式：X² - Y² =（X - Y）（X + Y）；

② 完全平方和公式：（X + Y）² = X² + 2XY + Y²；

③ 完全平方差公式：（X - Y）² = X² - 2XY + Y²。

24、比和比例

基本概念

① 比：两个数相除，又叫两个数的比；比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项；

② 比值：比的前项除以后项的商，就是比值；

③ 比例：表示两个比相等的式子；

④ 比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做比例尺；

⑤ 按比例分配：把几个数按照一定的比例，分成若干份，就是按比例分配。

基本性质

① 比的性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；

② 比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（交叉相乘，ad=bc）。

正比例与反比例

① 正比例：如果A扩大或缩小几倍，B也跟着扩大或缩小相同的倍数（A和B的商不变），那么A和B成正比例；

② 反比例：如果A扩大或缩小几倍，B反而缩小或扩大相同的倍数（A和B的积不变），那么A和B成反比例。

25、综合行程

基本概念：行程问题研究物体运动，核心是速度、时间、路程三者之间的关系。

基本公式（核心必记）

路程 = 速度 × 时间； 速度 = 路程 ÷ 时间； 时间 = 路程 ÷ 速度。

关键问题：确定物体运动的位置和方向，分清运动类型（相遇、追及等）。

常见题型及补充公式

1.   相遇问题（相向而行）：

核心公式：速度和 × 相遇时间 = 相遇路程；

补充公式：相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和； 速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间。

2.   追及问题（同向而行）：

核心公式：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差；

补充公式：路程差 = 速度差 × 追及时间； 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间。

3.   流水问题（涉及水速）：

顺水行程 =（船速 + 水速）× 顺水时间； 逆水行程 =（船速 - 水速）× 逆水时间；

顺水速度 = 船速 + 水速； 逆水速度 = 船速 - 水速；

静水速度 =（顺水速度 + 逆水速度）÷ 2； 水速 =（顺水速度 - 逆水速度）÷ 2。

4.   过桥问题（涉及物体长度）：

关键：确定物体运动的总路程（比如火车过桥，总路程 = 火车长度 + 桥的长度），再套用基本公式。

主要方法：画线段图，清晰表示运动过程、路程、速度和时间的关系。

基本题型：已知路程（相遇、追及路程）、时间（相遇、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

26、工程问题

基本公式（核心必记）

① 工作总量 = 工作效率 × 工作时间；

② 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间；

③ 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率。

基本思路（两种假设方法，任选一种）

① 假设工作总量为“1”（和实际总工作量无关），此时工作效率 = 1 ÷ 工作时间；

② 假设一个方便计算的数为工作总量（通常选几个工作时间的最小公倍数），再根据公式表示出工作效率和工作时间，计算更简便。

关键问题：确定工作总量、工作时间、工作效率三者之间的两两对应关系（谁的效率、对应多长时间、完成多少工作量）。

经验简评：合久必分，分久必合（多人合作时，先算合作效率；合作过程中有人退出/加入，再调整效率）。

27、逻辑推理

基本方法（根据题目条件选择，灵活运用）：

① 条件分析-假设法：假设一种可能的情况成立，然后按照这个假设去判断，如果出现和题目条件矛盾的情况，说明假设不成立，那么相反的情况就成立（比如假设a是偶数，判断中出现矛盾，那么a一定是奇数）；

② 条件分析-列表法：当题目条件较多，需要多次假设时，用表格辅助分析；表格的行、列分别表示不同的对象和情况，把条件填入表格，结合逻辑规律判断；

③ 条件分析-图表法：当两个对象之间只有两种关系时（比如认识/不认识、是/不是），用连线表示；有连线表示肯定状态，没有连线表示否定状态；

④ 逻辑计算：推理过程中，除了分析条件，还需要进行简单计算，用计算结果作为新的判断条件，筛选出正确答案；

⑤ 简单归纳与推理：根据题目给出的特征和数据，找出其中的规律，从特殊情况推广到一般情况，推导出关系式，解决问题。

28、几何面积

基本思路：如果不能直接用公式计算面积，就对图形进行变形（割补、平移、旋转、翻折、分解、重叠等），把不规则图形变成规则图形（比如长方形、正方形、三角形），再计算面积；同时记熟一些常规面积规律。

常用方法：

（1）连辅助线法：通过画辅助线，把图形分成几个规则部分，分别计算面积再相加；

（2）等底等高法：利用“等底等高的两个三角形面积相等”的规律，转化面积进行计算；

（3）大胆假设法：如果题目中说“任意点”，可以把任意点放在特殊位置（比如中点、顶点），简化计算；

（4）利用特殊规律（记熟直接用）：

① 等腰直角三角形：已知任意一条边，就能求面积（斜边的平方除以4，就是等腰直角三角形的面积）；

② 梯形：对角线连线后，两腰旁边的两个三角形面积相等；

③ 圆：圆的面积占它外接正方形面积的78.5%（π取3.14时）。

29、立体图形

基本概念：常见立体图形包括正方体、长方体、圆柱、圆锥、球体，核心考查表面积、体积（容积）的计算，以及图形的切割、拼接后的面积/体积变化。

核心公式（必记）

1.   正方体（棱长为a）：

表面积 = 6a²； 体积 = a³； 棱长总和 = 12a。

2.   长方体（长a、宽b、高h）：

表面积 = 2(ab + ah + bh)； 体积 = abh； 棱长总和 = 4(a + b + h)。

3.   圆柱（底面半径r、高h）：

侧面积 = 2πrh； 表面积 = 2πrh + 2πr²（侧面积 + 两个底面积）； 体积 = πr²h； 容积 = 体积（忽略容器厚度时）。

4.   圆锥（底面半径r、高h）：

体积 = (1/3)πr²h（圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3）。

5.   球体（半径r）：

表面积 = 4πr²； 体积 = (4/3)πr³。

解题关键

① 区分表面积和体积（容积）：表面积是“面的面积和”，体积是“所占空间的大小”，不能混淆；

② 图形切割/拼接：切割会增加表面积（增加的是切面的面积），拼接会减少表面积（减少的是拼接面的面积）；

③ 等积转化：比如把圆柱削成最大的圆锥，体积是原来的1/3；把长方体熔铸成圆柱，体积不变。

第六部分：

30、时钟问题-快慢表问题

基本思路（贴合行程问题，记熟可直接套用）：

（1）完全按照行程问题的思维解题，把不同的表当作“速度不同的运动物体”；

（2）路程的单位统一用“分格”（钟面一周总共60小格，1格即为1分格）；

（3）计算时用到的“时间”，均以标准表所经过的时间为准；

（4）核心技巧：合理利用行程问题中的比例关系，结合快慢表的速度差解题。

31、时钟问题-钟面追及

基本思路：本质是封闭曲线上的追及问题，和行程问题中的追及原理完全一致。

关键问题（必抓两点）：

① 先确定分针与时针的初始位置，明确两者一开始的距离；

② 确定分针与时针的路程差（初始距离即为路程差，追及过程中路程差会变化）。

基本方法（两种方法，任选一种，优先选分格法，更简单）：

① 分格方法（核心常用）：

钟面圆周被均匀分成60小格，每小格为1分格；

分针每小时走60分格（刚好走一周），所以分针每分钟走1分格；

时针每小时走5分格（钟面12个大格，每个大格对应5小格），所以时针每分钟走1/12分格。

② 度数方法（适合角度相关题目）：

钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360÷60 = 6°；

时针每分钟转360÷(12×60) = 0.5°（即1/2度）。

32、浓度与配比

基本概念（记熟定义，不混淆）

① 溶质：溶解在其他物质里的物质（比如糖、盐、酒精等）；

② 溶剂：溶解其他物质的物质（比如水、汽油等）；

③ 溶液：溶质和溶剂混合后的液体（比如盐水、糖水、酒精溶液等）。

核心公式（必记，直接套用）

① 溶液重量 = 溶质重量 + 溶剂重量；

② 溶质重量 = 溶液重量 × 浓度；

③ 浓度 = （溶质重量 ÷ 溶液重量）× 100% = （溶质重量 ÷（溶质重量 + 溶剂重量））× 100%。

推导公式（辅助解题，可直接记）

① 溶剂重量 = 溶液重量 - 溶质重量；

② 溶液重量 = 溶质重量 ÷ 浓度；

③ 溶质重量 = 溶液重量 - 溶剂重量；

经验总结（解题关键）

在配比过程中，存在一个反比例关系：进行混合的两种溶液的重量，和它们浓度的变化量成反比（浓度变化越大，对应溶液的重量越小）。

33、经济问题

核心考查利润、定价、成本、利息等相关计算，公式记熟，直接代入即可。

核心公式（必记）

① 利润的百分数 = （卖价 - 成本）÷ 成本 × 100%；

② 卖价 = 成本 ×（1 + 利润的百分数）；

③ 成本 = 卖价 ÷（1 + 利润的百分数）；

④ 定价（按期望利润确定）= 成本 ×（1 + 期望利润的百分数）；

储蓄相关公式

① 本金：存入银行（或储蓄）的总金额；

② 利率：利息和本金的比值（通常用百分数表示）；

③ 利息 = 本金 × 利率 × 期数（期数：储蓄的时间，比如1年、2年）；

含税价格相关

含税价格 = 不含税价格 ×（1 + 增值税税率）。

34、简单方程

基本概念

① 代数式：用加减乘除等运算符号，连接字母或数字组成的式子；

② 方程：含有未知数的等式（比如2x + 3 = 7）；

③ 列方程：把两个或几个相等的代数式，用等号连接起来。

列方程关键问题

用两个不同的代数式，表示同一个数（比如“比x的2倍多3的数”，可以表示为2x + 3，也可以表示为7，由此列出方程2x + 3 = 7）。

核心知识点（解方程必用）

① 等式性质：

- 等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立；

- 等式两边同时乘、除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

② 移项：把数或式子改变符号后，从方程等号的一边移到另一边；

移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。

③ 加、去括号规则：

- 只有加减运算时，括号前是“+”，添、去括号，括号内运算符号不变；

- 括号前是“－”，添、去括号，括号内运算符号全部改变；

- 括号内的数前没有“+”“－”，默认按“+”处理。

④ 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac（去括号、合并同类项常用）。

解方程步骤（按顺序来，不出错）

① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 求解。

方程组相关

① 方程组：由几个二元一次方程组成的一组方程；

② 解方程组步骤：先消元（把二元变成一元），再按一元一次方程的步骤求解；

③ 消元方法：① 加减消元（适合未知数系数相同或相反）；② 代入消元（适合有一个未知数系数为1）。

35、不定方程

基本概念

① 一次不定方程：含有两个未知数的一个方程（比如2x + 3y = 10），叫做二元一次不定方程，解不唯一；

② 多元不定方程：含有三个未知数的方程（比如x + 2y + 3z = 15），叫做三元一次不定方程，解也不唯一。

常规解法

① 二元一次不定方程：观察法、试验法、枚举法（结合数的整除、大小范围筛选）；

② 三元一次不定方程：先根据已知条件确定一个未知数的值，或消去一个未知数，转化成二元一次不定方程，再按上述方法求解。

涉及知识点

列方程、数的整除、大小比较（核心是利用整除和范围，缩小未知数的取值）。

解不定方程步骤

① 列方程；② 消元（多元转二元）；③ 写出表达式；④ 确定未知数范围；⑤ 确定未知数特征（比如整数、正整数）；⑥ 确定最终答案。

技巧总结（快速解题）

A、写表达式技巧：用特征不明显的未知数，表示特征明显的未知数（比如用x表示y）；优先用范围小的未知数，表示范围大的未知数；

B、消元技巧：优先消掉范围大的未知数，缩小剩余未知数的取值范围。

36、循环小数

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

二、分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。